三角函数，求值域

三角函数，求值域

三角函数的值域（或最值）问题是历年高考考查的内容，解答中应结合三角函数的特点，选取不同的方法．下面举例说明，以供参考．　　一、直接法　　求函数y＝3－cos2x的值域．　　分析 将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得．　　解 ∵ －1≤cos2x≤1，∴ －2≤－2cos2x≤2，∴ 1≤3－2cos2x≤5，即 1≤y≤5，　　∴ 函数y＝3－cos2x的值域为［1，5］．　　点评 对于形如y＝a＋bsinx（x∈R），y＝a＋bcosx（x∈R）　　的函数都可以用直接法求值域．　　二、单调性法　　求函数f（x）＝2sin（π－x）＋4在x∈［　　－π6，π2　　］上的值域．　　分析 原函数可化为f（x）＝2sinx＋4，　　由正弦函数在x∈［－π6，π2］　　上是增函数，即可求得原函数的值域．　　解 原函数解析式可化为　　f（　　x）＝2sinx＋4，∵ y＝　　sinx在区间［－π6，π2］上是增函数，∴ sinx∈［－　　12　　，∴ 2sinx＋4∈［3，6　　］，∴ 原函数的值域为［3，6］．点评 对于形如y＝a＋bsinx或y＝a＋bcosx的函数，　　在某区间上的值域问题，可利用单调性法求这个函数的值域．　　三、有界性法　　求函数y＝cosx－4的值域．分析 本题可将原函数中的cosx用y表示出来，然后利用－1≤cosx≤1解出y的范围即可．　　解 由原函数解析式得 cosx＝y＋4，　　∵ －1≤cosx≤1，∴ －1≤y＋4≤1，解之得 －5≤y≤－3，　　∴ 原函数的值域为［－5，－3］．例4 求函数y＝cosx－2cosx－1的值域．　　分析 可将原函数中的cosx用y表示出来，再利用－1≤cosx≤1解出y的范围即可．　　解 由y＝c　　osx－2cosx－1　　，得 cosx＝　　y－2y－1，又∵ －1≤cosx≤1，　　∴ －1≤y－2y－1≤1　　，　　解得 y≥32　　，∴ 原函数的值域为［3